1º Bimestre

2º Bimestre

Cálculo I - 2º Bimestre (semana 2)

Definição de limite de uma função em um ponto

Cálculo de limites de funções

Limite 3: Outras técnicas de cálculo de limites

Limite 4: Limites de sequências




Videoaula 5 a 8
Definição de limite de uma função em um ponto

Videoaula 5
EXERCÍCIO 4
Mostre, pela definição, que \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x-1}{x+1} = 1.
Resp: Devemos provar que para todo  \epsilon>0 , existe  M>0  tal que se  x>M , então  \left|f(x)-L\right|<\epsilon . Seja \epsilon>0 , tomemos  M=\dfrac{2}{\epsilon}-1 . Se  x>M , então:  0< \dfrac{2}{\epsilon}-1<x \Rightarrow 0< \dfrac{2}{\epsilon} <x+1 \Rightarrow 0< \dfrac{2}{x+1} <\epsilon
\Rightarrow \left |f(x)-1\right |=\left |\dfrac{x-1}{x+1} -1 \right |=\left |\dfrac{-2}{x+1} \right|=\dfrac{2}{x+1}<\epsilon
Portanto, \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x-1}{x+1} = 1.


Videoaula 6
EXERCÍCIO 2
Calcule os limites:
a.  \displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{\mathrm{sen\sqrt{3(1-x^2)}}}{\sqrt{1-x^2}}
Resp: Fazendo uma mudança de variável, onde  u= \sqrt{1-x^2}, \mbox{ se } x\to 1, \mbox { logo } u\to 0. Assim:
\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{\mathrm{sen\sqrt{3(1-x^2)}}}{\sqrt{1-x^2}} = \displaystyle\lim_{u \to 0} \dfrac{\mathrm{sen}(\sqrt{3}\cdot u)}{u} =\displaystyle\lim_{u \to 0} \dfrac{\sqrt{3}\cdot \mathrm{sen}(\sqrt{3}\cdot u)}{\sqrt{3}\cdot u}= \sqrt{3}\cdot \displaystyle\lim_{u \to 0} \dfrac{\mathrm{sen}(\sqrt{3}\cdot u)}{\sqrt{3}\cdot u}. Como  \displaystyle\lim_{u \to 0} \dfrac{\mathrm{sen}(\sqrt{3}\cdot u)}{\sqrt{3}\cdot u}=1 , então:
\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{\mathrm{sen\sqrt{3(1-x^2)}}}{\sqrt{1-x^2}}=\sqrt{3}\cdot 1=\sqrt{3}
b.  \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \mathrm{arctan}(\mathrm{ln}\sqrt{1-x})
Resp: Fazendo uma mudança de variável apropriada, onde  u= 1-x, \mbox{ se } x\to -\infty, \mbox { logo } u\to +\infty. Assim,  \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \mathrm{arctan}(\mathrm{ln}\sqrt{1-x})= \displaystyle\lim_{u \to +\infty} \mathrm{arctan}(\mathrm{ln}\sqrt{u}). A função  \mathrm{arctan}  é inversa da função  \mathrm{tan}: (\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\rightarrow \mathrm{R} . Portanto,  \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \mathrm{arctan}(\mathrm{ln}\sqrt{1-x})=\displaystyle\lim_{u \to +\infty} \mathrm{arctan}(\mathrm{ln}\sqrt{u})=\dfrac{\pi}{2}


Videoaula 7
EXERCÍCIO 3
Calcule os seguintes limites:
a.  \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{sen}x(1-\mathrm{cos}x)}{2x^2}
Resp:  \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{sen}(1-\mathrm{cos}x)}{2x^2}=\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{sen}x}{x}\cdot \dfrac{(1-\mathrm{cos}x)}{2x} . Temos que  1-\mathrm{cos}x = 2\mathrm{sen}^2x, então: \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{sen}(1-\mathrm{cos}x)}{2x^2}=\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{sen}x}{x}\cdot \dfrac{(1-\mathrm{cos}x)}{2x} = 1 \cdot \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{2\mathrm{sen}^2x}{2x}\Rightarrow
\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{sen}x(1-\mathrm{cos}x)}{2x^2} = \displaystyle\lim_{x \to 0} \mathrm{sen}x \cdot \displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\mathrm{sen}x}{x}=0\cdot 1 = 0
b.  \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{sen}ax}{\mathrm{sen}bx}
Resp:  \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{sen}ax}{\mathrm{sen}bx}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{a\cdot \mathrm{sen}ax}{ax}}{\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{b\cdot \mathrm{sen}bx}{bx}} = \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{b}


Videoaula 8
EXERCÍCIO 3
Calcule  \displaystyle\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{3^n+5^n}
Resp:  \displaystyle\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{3^n+5^n}= \displaystyle\lim_{n\to \infty} e^{\mathrm{ln}(3^n+5^n)^{\frac{1}{n}}}=\displaystyle\lim_{n\to \infty} e^{\mathrm{ln}5\cdot((\frac{3}{5})^n+1)^{\frac{1}{n}}}\Rightarrow
\displaystyle\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{3^n+5^n}= \displaystyle\lim_{n\to \infty} e^{\mathrm{ln}5}\cdot \displaystyle\lim_{n\to \infty}e^{\frac{\mathrm{ln}((\frac{3}{5})^n+1)}{n}}=5\cdot e^{\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{\mathrm{ln}((\frac{3}{5})^n+1)}{n}}.
Como  \displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(\dfrac{3}{5}\right)^n=0 \Rightarrow \displaystyle\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{3^n+5^n} = 5\cdot e^{\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{\mathrm{ln}(0+1)}{n}}
Portanto,  \displaystyle\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{3^n+5^n}=5\cdot e^0=5


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