Rodrigo A. Bernussi - Engenharia Univesp: Física I

Grandezas escalares e vetoriais

Vetores: representação analítica

Generalizando o conceito de referenciais

Velocidade e aceleração vetoriais

Videoaula 5 a 8

EXERCÍCIO 4

Uma bola é lançada horizontalmente de certa altura em relação ao solo. O eixo 0x do referencial adotado pertence ao solo horizontal e o eixo 0y se eleva na vertical. O movimento da bola segue as equações horárias: $x = 20t$ e $y = 20-5t^2$ e $z = 0$ (em unidades do SI).

Escreva o vetor posição $\vec r(t)$ que posiciona a bola em função do tempo.
Resp: No plano o vetor posição tem a seguinte expressão analítica: $\vec r(r_x;r_y)=r_x\vec i+r_y\vec j$ . O enunciado nos informa que $x = 20t$ e $y = 20-5t^2$ , logo: $\vec r(t)= 20t\vec i+ (20-5t^2)\vec j$ .
Escreva as expressões cartesianas da velocidade e da aceleração para um instante t qualquer.
Resp: $\vec v=\dfrac{\mathrm d\vec r(t)}{\mathrm dt} = 20\vec i-10t\vec j$ . $v_x=20 m/s$ , movimento uniforme com $a_x=0$ e a componente $v_y=-10t$ varia uniformemente com o tempo, onde $a_y=-10m/s^2, \mbox{ constante.}$
$\vec a(t)= \dfrac{\mathrm d\vec v(t)}{\mathrm dt} = \dfrac{\mathrm d[20\cdot\vec i-10t\cdot\vec j]}{\mathrm dt} = 0\vec i -10\vec j (m/s^2)$
No instante em que a bola atinge o solo $( y = 0 )$ qual o módulo da velocidade e da aceleração e a posição $x$ ?
Resp: $y=20-5t^2=0\Rightarrow t=2$ , portanto a bola atinge o solo em $t=2$ . Em $t=2$ a velocidade $\vec v(t)=20\vec i-10(2)\cdot\vec j =20\vec i-20\vec j$ . Portanto, $|\vec v|=\sqrt{\vec v\cdot \vec v}=\sqrt{20^2+(-20)^2}=20\sqrt{2}$
O módulo de $\vec a$ é $|\vec a|= \sqrt{(-10)^2}=10$ . A posição $x=20(2)=40m$

EXERCÍCIO 6

Duas crianças partem simultaneamente de uma esquina. A criança A segue para norte com velocidade constante 1 m/s e a criança B segue para leste com velocidade constante 2 m/s.

Qual o comprimento do segmento de reta que une as duas crianças depois de 20 s?

Resp: O vetor posição de A e B é dado, respectivamente, por $\vec r_A = (0+1t)\vec j$ e $\vec r_B = (0+2t)\vec i$ . Logo, após 20 segundos as posições ocupadas por A e B são, respectivamente, $\vec r_A = 20\vec j$ e $\vec r_B = 40\vec i$ . O comprimento do segmento de reta após 20 segundos é dado por: $d=\sqrt{(40+0)^2+(0+20)^2}=\sqrt{2000}=20\sqrt{5}m$
Qual a velocidade relativa de B em relação a A?

Resp: A velocidade relativa de B em relação a A é dada por:

$\vec v_{AB}=\dfrac{\mathrm d[\vec r_B-\vec r_A]}{\mathrm dt}=\vec v_B - \vec v_A = \dfrac{\mathrm d[(0+2t)\vec i - (0+1t)\vec j]}{\mathrm dt}=2\vec i - \vec j$