1º Bimestre

2º Bimestre

Cálculo I - 2º Bimestre (semana 3)

Limite 5: Somas e Séries Numéricas

Continuidade 1: Conceito e Definição

Continuidade 2: Teoremas Básicos

Derivada 1: Definição de Derivada e Exemplos Simples



Videoaula 9 a 12


Videoaula 9
EXERCÍCIO 1
Determine se a soma é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a soma:
a.  S= \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)
Resp:   S= \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right) =\displaystyle\lim_{k\to \infty}\displaystyle\sum_{n=1}^{k}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right) \Rightarrow
\displaystyle\lim_{k\to \infty}\displaystyle\sum_{n=1}^{k}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\cdots-\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}
É possível notar que os termos da série, com exceção do primeiro e último, anulam-se dois a dois. Dessa forma, podemos escrever a série da seguinte forma:
\displaystyle\lim_{k\to \infty}\displaystyle\sum_{n=1}^{k}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}=1+\displaystyle\lim_{k\to \infty}\dfrac{1}{k+1}=1
Portanto, a série converge e tem soma igual a 1.
b.  S= \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\mathrm{ln}\left(\dfrac{n^2+1}{2n^2+1}\right)
Resp: O teste da convergência nos diz que se  \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\neq 0\Rightarrow \mbox{ divergente }. Caso contrário, se  \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n= 0, então nada podemos afirmar. Aplicando o teste à série, vemos que:
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\mathrm{ln}\left(\dfrac{n^2+1}{2n^2+1}\right)=\mathrm{ln}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{n^2+1}{2n^2+1}\right)=\dfrac{1}{2}\neq 0. Portanto, a série diverge.


Videoaula 10
EXERCÍCIO 1
Mostre que a função f é descontínua no ponto a=1, e explique porque:
a. f(x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{x^2-x}{x^2-1}&\mbox{ se }x\neq 1\\1&\mbox{ se }x=1\end{array}\right.
Resp: A função f será contínua no ponto a=1 se \left\{\begin{array}{rl}\mbox{ existir }&\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x) \mbox{ e}\\\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)&=f(1)\end{array}\right. .
Temos que \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^2-x}{x^2-1}=\frac{1}{2}\neq f(1)=1. Portanto, f é descontínua em a=1.
b. f(x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{x-1}{|x-1|}&\mbox{ se }x\neq 1\\1&\mbox{ se }x=1\end{array}\right.
Resp: A função f será contínua no ponto a=1 se \left\{\begin{array}{rl}\mbox{ existir }&\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)\mbox{ e}\\\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)&=f(1)\end{array}\right. .
Temos que, se x\to 1^+, então x>1 e se x\to 1^-, então x<1. Dessa forma, \displaystyle\lim_{x\to 1^+}\frac{x-1}{|x-1|}=1 \mbox{ e }\displaystyle\lim_{x\to 1^-}\frac{x-1}{|x-1|}=-1. Como os limites laterais são diferentes, então não existe limite e, portanto, f é descontínua em a=1.


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