1º Bimestre

2º Bimestre

Cálculo I - 2º Bimestre (semana 3)

Limite 5: Somas e Séries Numéricas

Continuidade 1: Conceito e Definição

Continuidade 2: Teoremas Básicos

Derivada 1: Definição de Derivada e Exemplos Simples



Videoaula 9 a 12


Videoaula 9
EXERCÍCIO 1
Determine se a soma é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a soma:
a.  S= \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)
Resp:   S= \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right) =\displaystyle\lim_{k\to \infty}\displaystyle\sum_{n=1}^{k}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right) \Rightarrow
\displaystyle\lim_{k\to \infty}\displaystyle\sum_{n=1}^{k}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\cdots-\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}
É possível notar que os termos da série, com exceção do primeiro e último, anulam-se dois a dois. Dessa forma, podemos escrever a série da seguinte forma:
\displaystyle\lim_{k\to \infty}\displaystyle\sum_{n=1}^{k}\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}=1+\displaystyle\lim_{k\to \infty}\dfrac{1}{k+1}=1
Portanto, a série converge e tem soma igual a 1.
b.  S= \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\mathrm{ln}\left(\dfrac{n^2+1}{2n^2+1}\right)
Resp: O teste da convergência nos diz que se  \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\neq 0\Rightarrow \mbox{ divergente }. Caso contrário, se  \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n= 0, então nada podemos afirmar. Aplicando o teste à série, vemos que:
\displaystyle\lim_{n\to\infty}\mathrm{ln}\left(\dfrac{n^2+1}{2n^2+1}\right)=\mathrm{ln}\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{n^2+1}{2n^2+1}\right)=\dfrac{1}{2}\neq 0. Portanto, a série diverge.


Videoaula 10
EXERCÍCIO 1
Mostre que a função f é descontínua no ponto a=1, e explique porque:
a. f(x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{x^2-x}{x^2-1}&\mbox{ se }x\neq 1\\1&\mbox{ se }x=1\end{array}\right.
Resp: A função f será contínua no ponto a=1 se \left\{\begin{array}{rl}\mbox{ existir }&\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x) \mbox{ e}\\\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)&=f(1)\end{array}\right. .
Temos que \displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^2-x}{x^2-1}=\frac{1}{2}\neq f(1)=1. Portanto, f é descontínua em a=1.
b. f(x)=\left\{\begin{array}{rl}\frac{x-1}{|x-1|}&\mbox{ se }x\neq 1\\1&\mbox{ se }x=1\end{array}\right.
Resp: A função f será contínua no ponto a=1 se \left\{\begin{array}{rl}\mbox{ existir }&\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)\mbox{ e}\\\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)&=f(1)\end{array}\right. .
Temos que, se x\to 1^+, então x>1 e se x\to 1^-, então x<1. Dessa forma, \displaystyle\lim_{x\to 1^+}\frac{x-1}{|x-1|}=1 \mbox{ e }\displaystyle\lim_{x\to 1^-}\frac{x-1}{|x-1|}=-1. Como os limites laterais são diferentes, então não existe limite e, portanto, f é descontínua em a=1.


Postado por
Marcadores:

Cálculo I - 2º Bimestre (semana 2)

Definição de limite de uma função em um ponto

Cálculo de limites de funções

Limite 3: Outras técnicas de cálculo de limites

Limite 4: Limites de sequências




Videoaula 5 a 8
Definição de limite de uma função em um ponto

Videoaula 5
EXERCÍCIO 4
Mostre, pela definição, que \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x-1}{x+1} = 1.
Resp: Devemos provar que para todo  \epsilon>0 , existe  M>0  tal que se  x>M , então  \left|f(x)-L\right|<\epsilon . Seja \epsilon>0 , tomemos  M=\dfrac{2}{\epsilon}-1 . Se  x>M , então:  0< \dfrac{2}{\epsilon}-1<x \Rightarrow 0< \dfrac{2}{\epsilon} <x+1 \Rightarrow 0< \dfrac{2}{x+1} <\epsilon
\Rightarrow \left |f(x)-1\right |=\left |\dfrac{x-1}{x+1} -1 \right |=\left |\dfrac{-2}{x+1} \right|=\dfrac{2}{x+1}<\epsilon
Portanto, \displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x-1}{x+1} = 1.


Videoaula 6
EXERCÍCIO 2
Calcule os limites:
a.  \displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{\mathrm{sen\sqrt{3(1-x^2)}}}{\sqrt{1-x^2}}
Resp: Fazendo uma mudança de variável, onde  u= \sqrt{1-x^2}, \mbox{ se } x\to 1, \mbox { logo } u\to 0. Assim:
\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{\mathrm{sen\sqrt{3(1-x^2)}}}{\sqrt{1-x^2}} = \displaystyle\lim_{u \to 0} \dfrac{\mathrm{sen}(\sqrt{3}\cdot u)}{u} =\displaystyle\lim_{u \to 0} \dfrac{\sqrt{3}\cdot \mathrm{sen}(\sqrt{3}\cdot u)}{\sqrt{3}\cdot u}= \sqrt{3}\cdot \displaystyle\lim_{u \to 0} \dfrac{\mathrm{sen}(\sqrt{3}\cdot u)}{\sqrt{3}\cdot u}. Como  \displaystyle\lim_{u \to 0} \dfrac{\mathrm{sen}(\sqrt{3}\cdot u)}{\sqrt{3}\cdot u}=1 , então:
\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{\mathrm{sen\sqrt{3(1-x^2)}}}{\sqrt{1-x^2}}=\sqrt{3}\cdot 1=\sqrt{3}
b.  \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \mathrm{arctan}(\mathrm{ln}\sqrt{1-x})
Resp: Fazendo uma mudança de variável apropriada, onde  u= 1-x, \mbox{ se } x\to -\infty, \mbox { logo } u\to +\infty. Assim,  \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \mathrm{arctan}(\mathrm{ln}\sqrt{1-x})= \displaystyle\lim_{u \to +\infty} \mathrm{arctan}(\mathrm{ln}\sqrt{u}). A função  \mathrm{arctan}  é inversa da função  \mathrm{tan}: (\frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2})\rightarrow \mathrm{R} . Portanto,  \displaystyle\lim_{x \to -\infty} \mathrm{arctan}(\mathrm{ln}\sqrt{1-x})=\displaystyle\lim_{u \to +\infty} \mathrm{arctan}(\mathrm{ln}\sqrt{u})=\dfrac{\pi}{2}


Videoaula 7
EXERCÍCIO 3
Calcule os seguintes limites:
a.  \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{sen}x(1-\mathrm{cos}x)}{2x^2}
Resp:  \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{sen}(1-\mathrm{cos}x)}{2x^2}=\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{sen}x}{x}\cdot \dfrac{(1-\mathrm{cos}x)}{2x} . Temos que  1-\mathrm{cos}x = 2\mathrm{sen}^2x, então: \displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{sen}(1-\mathrm{cos}x)}{2x^2}=\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{sen}x}{x}\cdot \dfrac{(1-\mathrm{cos}x)}{2x} = 1 \cdot \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{2\mathrm{sen}^2x}{2x}\Rightarrow
\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\mathrm{sen}x(1-\mathrm{cos}x)}{2x^2} = \displaystyle\lim_{x \to 0} \mathrm{sen}x \cdot \displaystyle\lim_{x \to 0}\dfrac{\mathrm{sen}x}{x}=0\cdot 1 = 0
b.  \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{sen}ax}{\mathrm{sen}bx}
Resp:  \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{\mathrm{sen}ax}{\mathrm{sen}bx}=\dfrac{\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{a\cdot \mathrm{sen}ax}{ax}}{\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{b\cdot \mathrm{sen}bx}{bx}} = \displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{a}{b}=\dfrac{a}{b}


Videoaula 8
EXERCÍCIO 3
Calcule  \displaystyle\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{3^n+5^n}
Resp:  \displaystyle\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{3^n+5^n}= \displaystyle\lim_{n\to \infty} e^{\mathrm{ln}(3^n+5^n)^{\frac{1}{n}}}=\displaystyle\lim_{n\to \infty} e^{\mathrm{ln}5\cdot((\frac{3}{5})^n+1)^{\frac{1}{n}}}\Rightarrow
\displaystyle\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{3^n+5^n}= \displaystyle\lim_{n\to \infty} e^{\mathrm{ln}5}\cdot \displaystyle\lim_{n\to \infty}e^{\frac{\mathrm{ln}((\frac{3}{5})^n+1)}{n}}=5\cdot e^{\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{\mathrm{ln}((\frac{3}{5})^n+1)}{n}}.
Como  \displaystyle\lim_{n\to \infty}\left(\dfrac{3}{5}\right)^n=0 \Rightarrow \displaystyle\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{3^n+5^n} = 5\cdot e^{\displaystyle\lim_{n\to \infty}\frac{\mathrm{ln}(0+1)}{n}}
Portanto,  \displaystyle\lim_{n\to \infty}\sqrt[n]{3^n+5^n}=5\cdot e^0=5


Postado por
Marcadores:
Assinar: Postagens (Atom)