Matemática - 1º Bimestre (semana 7)

Modelos de crescimento de populações: taxas de variação (I)

Modelos de crescimento de populações: taxas de variação (II)

Números complexos e transformações no plano (I)

Números complexos e transformações no plano (II)

Matemática - 1º Bimestre (semana 6)

Proporcionalidade e periodicidade na natureza (I)

Proporcionalidade e periodicidade na natureza (II)

Cônicas aplicadas em problemas de engenharia (I)

Cônicas aplicadas em problemas de engenharia (II)

Matemática - 1º Bimestre (semana 5)

Otimização, Programação Linear (I)

Otimização, Programação Linear (II)

Texto A

Achar o ótimo é mais do que simplesmente resolver um problema: é encontrar a melhor solução possível, o que significa, quase sempre, maximizar ou minimizar uma função. Problemas que se limitam à ideia de proporcionalidade envolvem apenas cálculos matemáticos simples, como foi visto em aula: funções do primeiro grau, equação da reta, representação de igualdades e desigualdades no plano cartesiano, interseção de retas etc. A partir da situação problema, o desafio é encontrar a função a ser otimizada, representar as exigências sobre ela por meio de equações ou inequações, e buscar as técnicas que conduzem às respostas das perguntas formuladas. Um roteiro para isso foi apresentado na resolução dos problemas em aula. Vamos explicitar tal roteiro por meio de uma sequência de perguntas no problema a seguir. A atividade a ser realizada consiste em ler com atenção o enunciado do problema, inclusive a tabela que registra os dados, e responder as perguntas parciais formuladas, efetuando os cálculos indicados, até chegar à solução. PROBLEMA (problema 3 da aula)

Uma indústria pode produzir dois tipos de produtos, A e B, utilizando três tipos de materiais, I, II e III. O modo como ela opera é descrito na tabela abaixo:

Produtos >>	A	B	Estoque
Materiais
I	1	3	10
II	2	2	12
III	0	1	4
Lucro unitário >>	4 reais	6 reais	Lucro Total: L

(Para produzir uma unidade de A utilizam-se 1 unidade do material I, 2 unidades do material II e nada do material III; no caso de B, utilizam-se 3 unidades do material I, 2 unidades de II e 1 unidade de III)

Determine quantas unidades devem ser produzidas de A e quantas de B de modo que o Lucro Total seja máximo.

ROTEIRO PARA A RESOLUÇÃO

1. Qual a função a ser otimizada? Trata-se da busca de um máximo ou de um mínimo?
Resp: Seja x = quatidade de produtos A e y = quantidade de produtos B, então a função a ser otimizada é dada por L = 4x+6y. Trata-se de um problema de maximização (busca de um máximo).

2. Quais as limitações impostas aos valores de x e y, devido à natureza do problema e às condições da produção?
Resp: Restrições:

I)   x + 3y ≤ 10
II) 2x + 2y ≤ 12 
III)      y ≤ 4

3. Como se formula o problema proposto sinteticamente, na linguagem matemática?
Resp:

Maximizar Lucro Total L = 4x + 6y
   Restrições:
     x + 3y ≤ 10        com x,y ≥ 0. 
    2x + 2y ≤ 12 
          y ≤ 4

4. Represente no plano cartesiano os pontos (x, y) que satisfazem a restrição x + 3y ≤ 10
Resp:

5. Represente no plano cartesiano os pontos (x;y) que satisfazem às inequações 2x + 2y ≤ 12 (material II) e y ≤ 4 (material III)
Resp:  

Os pontos abaixo da reta de cor rosa satifazem a inequação 2x + 2y ≤ 12. Os pontos abaixo da reta de cor laranja satifazem a inequação y ≤ 4.

6. Represente no plano cartesiano a região que corresponde aos pontos (x; y) que satisfazem simultaneamente todas as condições do enunciado.
Resp:

Os pontos que satisfazem simultaneamente as três restrições são representados pelo conjunto .

7. Para escolher entre os pontos de V o que responde a pergunta do problema, ou seja, o par (x; y) que torna o Lucro L máximo, calcule o valor de L = 4x + 6y em um ponto qualquer da região V; por exemplo, no ponto (6; 0).
Resp: L = 4(6) + 6(0) = 24.

8. Note que o valor de L é 24 ao longo de toda a reta 4x + 6y = 24. Represente tal reta no plano cartesiano, juntamente com a região de viabilidade V.
Resp:

9. Calcule o valor de L em outro ponto da região de viabilidade, por exemplo, no ponto (0; 10/3).
Resp: L = 4(0) + 6(10/3) = 20.

10. Verifique que a reta 4x + 6y = 20, ao longo do qual o lucro L é igual a 20, é paralela à reta 4x + 6y = 24, situando-se abaixo dela.Como o ponto em que a reta 4x + 6y = L corta o eixo Y no ponto (0; L/6), quanto maior o lucro L, mais alto no eixo Y é o ponto em que a reta L = 4x + 6y o corta. Assim, o lucro máximo corresponde à reta L = 4x + 6y que corta o eixo Y no ponto mais alto. Será uma reta paralela a 4x + 6y = 20, mas que passa pelo ponto da região V que possibilita o maior valor da ordenada em que corta o eixo Y. Verifique que tal ponto é justamente a interseção das retas I e II. Determine esse ponto e calcule o valor de L correspondente. Esse será o máximo lucro possível, respeitadas as exigências do enunciado.
Resp: Sendo o ponto de valor máximo a intersecção entre as retas 2x + 2y ≤ 12 e x + 3y ≤ 10, resta-nos então resolver o seguinte sistema linear

O que nos dá os valores de x = 4 e y = 2. O Lucro máximo é L = 4(4)+6(2)=28.

Expoentes e logaritmos em diferentes contextos (I)

Expoentes e logaritmos em diferentes contextos (II)

Exercícios das aulas 19 e 20

Texto A

Como foi visto em aula, os logaritmos são utilizados para tornar números muito grandes ou muito pequenos mais facilmente perceptíveis, associando-os a números menores. Em vez de 107 ou 10-7, penso os expoentes 7 ou -7.
O logaritmo de um número N é apenas o expoente da potência de 10 que expressa o valor de N:
log N=n quer dizer que 10n = N.
Na verdade, qualquer outra base poderia ser utilizada, mas a conveniência da base 10 nos cálculos cotidianos torna o começo do estudo por essa base mais natural. Quando a base for diferente de 10, isso precisa ser destacado. Assim, se N = ax então x = logaritmo de N na base a = logaN.De modo geral, os números que correspondem a potências inteiras da base têm logaritmos inteiros; os outros, têm logaritmos fracionários, sendo a grande maioria números irracionais. Desde o século XVII são construídas tabelas que fornecem os valores aproximados de tais expoentes.

---

1. Sendo dados os valores aproximados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, preencha a tabela abaixo:
   

   N	N = 10n	n    (log N)
   1	1 = 100	0
   2	2 = 100,30	0,3
   3	3 = 100,47	0,47
   4	4 = 102×0,30	0,60
   5	5 = 101-0,30	0,70
   6	6 = 100,30+0,47	0,77
   8	8 = 103×0,30	0,90
   9	9 = 102×0,47	0,94
   10	10 = 101	1
   12	12 = 100,47+0,60	1,07
   15	15 = 100,47+0,70	1,17
   18	18 = 100,30+0,94	1,24
   20	20 = 101+0,30	1,30
   27	27 = 100,47+0,94	1,41
   30	30 = 100,47+1	1,47
   32	32 = 105×0,30	1,50
   36	36 = 100,60+0,94	1,54
   40	40 = 100,60+1,00	1,60
   60	60 = 100,77+1	1,77
   100	100 = 102	2
   300	300 = 100,47+2	2,47
   400	400 = 100,60+2	2,60
   1000	1000 = 103	3
   3000	3000 = 100,47+3	3,47
   9000	9000 = 100,94+3	3,94
   10000	10000 = 104	4
   50000	50000 = 100,70+4	4,70
   100000	100000 = 105	5

Matemática - 1º Bimestre (semana 4)

Representações, Gráficos, Transformações (I)

Representações, Gráficos, Transformações (II)

Exercícios da semana 4 - vídeoaulas 13 e 14

Videoaula 13

Questão 2 - Desenhe em um mesmo plano cartesiano os gráficos das funções:

f(x) = x2, g(x) = x2 – 3 e h(x) = (x – 3)2

Descreva as transformações que o gráfico de f deveria sofrer para coincidir com o gráfico de g ou com o gráfico de h.

Resolução:

A transformação de f(x) para g(x) é uma translação vertical, ou seja,em relação ao eixo das ordenadas (y) onde f(x) = x²  --> f(x) - 3 =  x² - 3 

A transformação de f(x) para h(x) é uma translação horizontal, ou seja, em relação ao eixo das abcissas (x) onde f(x) = x²  --> f(x - 3) =  (x - 3)² 

Videoaula 14

Questão 2 -  A expressão x² – 6x + 8  pode ser assim fatorada:

Descreva as translações necessárias para que o gráfico da função  y = x²  se sobreponha ao gráfico da função y = (x – 3)² – 1

Resolução:

Para que y = x² transforme-se em y = x² – 6x + 8  ou  y = (x – 3)² – 1 é preciso que sofra uma translação horizontal de -3 e novamente uma translação vertical de -3.

Geometria da esfera: da Terra ao GPS (I)

Geometria da esfera: da Terra ao GPS (II)

Exercícios da semana 4 - vídeoaulas 15 e 16

Videoaula 15

1) Normalmente assumimos que a Terra é uma esfera para a maioria dos cálculos, porém, sua forma é aproximadamente a de um elipsóide, que é uma forma tridimensional gerada a partir da rotação de uma elipse por um eixo de simetria, como se vê na figura.

Sabendo que o semieixo equatorial da Terra tem aproximadamente 6378,137 km, e que seu semieixo polar tem aproximadamente 6356,752 km, pede-se:

a) A excentricidade de (lembre-se que a excentricidade é definida como c/a).

a = 6378,137 km

b = 6356,752 km

b) A equação de considerando o referencial de eixos ortogonais indicado abaixo.

        

Videoaula 16

1) Sabendo que a distância entre as cidades de São Paulo e Moscou é de aproximadamente 11806 km, calcule o menor ângulo do arco de circunferência máxima que separa essas duas cidades.

40000 – 360˚

11806 – x     

x = 106,15˚

Matemática - 1º Bimestre (semana 3)

Contagem direta e indireta, probabilidades (I)

Contagem direta e indireta, probabilidades (II)

Exercícios da semana 3 - vídeoaulas 9 e 10

Videoaula 9

4 -  As 100 peças de plástico que estão em uma caixa estão assim distribuídas com relação a seus formatos e cores:

Uma das peças dessa caixa será sorteada. Calcule a probabilidade:

	Circulares	Triangulares	Total
Verdes	22	30	52
Amarelas	10	38	48
Total	32	68	100

a) da peça ser da cor verde

    52/100 = 52%

b) da peça ser da cor verde, dado que ela é triangular

    30/68 = 44%

c) da peça ser amarela, sabendo-se que ela é circular.

    10/32 = 31%

Videoaula 10

6 -  De um grupo de 10 pessoas, sendo 3 homens e 7 mulheres, serão sorteadas duas pessoas consecutivamente.

Qual é a probabilidade de que sejam sorteadas uma mulher e um homem?

 10 pessoas 

• 3 homens
• 7 mulheres

7/10 x 3/9 x 2! = 0,466666 ou aproximadamente 47%

A Matemática do Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) (I)

A Matemática do Índice de Desenvolvimento Humano (IDH) (II)

Exercícios da semana 3 - vídeoaulas 11 e 12


Resumo das Videoaulas 11 e 12

IDH - Índice de Desenvolvimento Humano, criado em 1990 por um economista paquistanês, onde passaram a ser considerados outros indicadores além do PIB(P), indicadores como a esperança de vida (S) ao nascer, o índice de grau de instrução (E).

Anterior ao IDH o único indicador analisado era o PIB (Produto Interno Bruto - que á soma de todas as riquezas produzidas pelo país) como fator de desenvolvimento.
Com o passar dos anos vários aperfeiçoamentos foram implantados em decorrência de dados imprecisos, passando-se das limitações da idéia de proporcionalidade e a incorporação de funções que crescem a taxas decrescentes, como a função logarítmica, nos cálculos. A presença das médias aritmética e ponderada.
Devido as desigualdades no interior de cada fator (P, S, E) e a construção do IDHAD (Índice de Desenvolvimento Humano Ajustado à Desigualdade): novo recurso à média geométrica. Outros indicadores da qualidade de vida: IDG (Índice da Diferença de Gênero).
Principais alterações:
-mudança da média aritmética para média geométrica
-Indicador de Instrução: E 
       -E1 – Número médio de anos de escolaridade/comparação 
       -E2- Número esperado de anos de escolaridade/comparação
       Padrão ótimo: M
-Índice de Desenvolvimento Humano Ajustado à Desigualdade
O principal foco de todos esses índices, sendo o IDH o mais conhecido, é o combate a desigualdade na distribuição de recursos, que é preocupante e crescente em todo o mundo.

Exercício das Videoaulas 11 e 12 - Texto A

Desde que foi criado em 1990 até 2009, no cálculo do IDH usava-se a Média Aritmética dos três indicadores P (referente ao PIB per capita), E (referente à escolaridade) e S (referente à Saúde). Os valores de P, E e S resultavam da comparação com outros países e eram expressos por números entre 0 e 1: 

IDH = (P + E + S)/3

A partir de 2010, em vez da Média Aritmética, passou-se a usar a Média Geométrica: IDH = (P x E x S)1/3  (raiz cúbica do produto dos três fatores)

A razão da mudança é valorizar mais a qualidade de vida em países em que os valores de P, E e S não são muito discrepantes, pois a Média Geométrica é sempre menor ou igual à Média Aritmética. Assim, as duas médias serão iguais apenas quando os valores de P, E e S forem iguais; quanto mais discrepantes forem os três valores. 

A atividade que segue visa a explicitação de tal fato.

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1. Preencha a tabela abaixo, calculando a média aritmética (Ma) e a média geométrica (Mg) dos números indicados (use uma calculadora para calcular a raiz cúbica):