Otimização, Programação Linear (I)
Otimização, Programação Linear (II)
Texto A
Achar o ótimo é mais do que simplesmente resolver um problema: é encontrar a melhor solução possível, o que significa, quase sempre, maximizar ou minimizar uma função. Problemas que se limitam à ideia de proporcionalidade envolvem apenas cálculos matemáticos simples, como foi visto em aula: funções do primeiro grau, equação da reta, representação de igualdades e desigualdades no plano cartesiano, interseção de retas etc. A partir da situação problema, o desafio é encontrar a função a ser otimizada, representar as exigências sobre ela por meio de equações ou inequações, e buscar as técnicas que conduzem às respostas das perguntas formuladas. Um roteiro para isso foi apresentado na resolução dos problemas em aula. Vamos explicitar tal roteiro por meio de uma sequência de perguntas no problema a seguir. A atividade a ser realizada consiste em ler com atenção o enunciado do problema, inclusive a tabela que registra os dados, e responder as perguntas parciais formuladas, efetuando os cálculos indicados, até chegar à solução. PROBLEMA (problema 3 da aula)
Uma indústria pode produzir dois tipos de produtos, A e B, utilizando três tipos de materiais, I, II e III. O modo como ela opera é descrito na tabela abaixo:
Achar o ótimo é mais do que simplesmente resolver um problema: é encontrar a melhor solução possível, o que significa, quase sempre, maximizar ou minimizar uma função. Problemas que se limitam à ideia de proporcionalidade envolvem apenas cálculos matemáticos simples, como foi visto em aula: funções do primeiro grau, equação da reta, representação de igualdades e desigualdades no plano cartesiano, interseção de retas etc. A partir da situação problema, o desafio é encontrar a função a ser otimizada, representar as exigências sobre ela por meio de equações ou inequações, e buscar as técnicas que conduzem às respostas das perguntas formuladas. Um roteiro para isso foi apresentado na resolução dos problemas em aula. Vamos explicitar tal roteiro por meio de uma sequência de perguntas no problema a seguir. A atividade a ser realizada consiste em ler com atenção o enunciado do problema, inclusive a tabela que registra os dados, e responder as perguntas parciais formuladas, efetuando os cálculos indicados, até chegar à solução. PROBLEMA (problema 3 da aula)
| Produtos >> | A | B | Estoque |
| Materiais | |||
| I | 1 | 3 | 10 |
| II | 2 | 2 | 12 |
| III | 0 | 1 | 4 |
| Lucro unitário >> | 4 reais | 6 reais | Lucro Total: L |
(Para produzir uma unidade de A utilizam-se 1 unidade do material I, 2 unidades do material II e nada do material III; no caso de B, utilizam-se 3 unidades do material I, 2 unidades de II e 1 unidade de III)
Determine quantas unidades devem ser produzidas de A e quantas de B de modo que o Lucro Total seja máximo.
ROTEIRO PARA A RESOLUÇÃO
1. Qual a função a ser otimizada? Trata-se da busca de um máximo ou de um mínimo?
Resp: Seja x = quatidade de produtos A e y = quantidade de produtos B, então a função a ser otimizada é dada por L = 4x+6y. Trata-se de um problema de maximização (busca de um máximo).
Resp: Seja x = quatidade de produtos A e y = quantidade de produtos B, então a função a ser otimizada é dada por L = 4x+6y. Trata-se de um problema de maximização (busca de um máximo).
2. Quais as limitações impostas aos valores de x e y, devido à natureza do problema e às condições da produção?
Resp: Restrições:
Resp: Restrições:
I) x + 3y ≤ 10 II) 2x + 2y ≤ 12 III) y ≤ 4
3. Como se formula o problema proposto sinteticamente, na linguagem matemática?
Resp:
Resp:
Maximizar Lucro Total L = 4x + 6y
Restrições:
x + 3y ≤ 10 com x,y ≥ 0.
2x + 2y ≤ 12
y ≤ 4
4. Represente no plano cartesiano os pontos (x, y) que satisfazem a restrição x + 3y ≤ 10
Resp:
Resp:
5. Represente no plano cartesiano os pontos (x;y) que satisfazem às inequações 2x + 2y ≤ 12 (material II) e y ≤ 4 (material III)
Resp:
Resp:
Os pontos abaixo da reta de cor rosa satifazem a inequação 2x + 2y ≤ 12. Os pontos abaixo da reta de cor laranja satifazem a inequação y ≤ 4.
6. Represente no plano cartesiano a região que corresponde aos pontos (x; y) que satisfazem simultaneamente todas as condições do enunciado.
Resp:
Resp:
.
7. Para escolher entre os pontos de V o que responde a pergunta do problema, ou seja, o par (x; y) que torna o Lucro L máximo, calcule o valor de L = 4x + 6y em um ponto qualquer da região V; por exemplo, no ponto (6; 0).
Resp: L = 4(6) + 6(0) = 24.
Resp: L = 4(6) + 6(0) = 24.
8. Note que o valor de L é 24 ao longo de toda a reta 4x + 6y = 24. Represente tal reta no plano cartesiano, juntamente com a região de viabilidade V.
Resp:
Resp:
9. Calcule o valor de L em outro ponto da região de viabilidade, por exemplo, no ponto (0; 10/3).
Resp: L = 4(0) + 6(10/3) = 20.
Resp: L = 4(0) + 6(10/3) = 20.
10. Verifique que a reta 4x + 6y = 20, ao longo do qual o lucro L é igual a 20, é paralela à reta 4x + 6y = 24, situando-se abaixo dela.Como o ponto em que a reta 4x + 6y = L corta o eixo Y no ponto (0; L/6), quanto maior o lucro L, mais alto no eixo Y é o ponto em que a reta L = 4x + 6y o corta. Assim, o lucro máximo corresponde à reta L = 4x + 6y que corta o eixo Y no ponto mais alto. Será uma reta paralela a 4x + 6y = 20, mas que passa pelo ponto da região V que possibilita o maior valor da ordenada em que corta o eixo Y. Verifique que tal ponto é justamente a interseção das retas I e II. Determine esse ponto e calcule o valor de L correspondente. Esse será o máximo lucro possível, respeitadas as exigências do enunciado.
Resp: Sendo o ponto de valor máximo a intersecção entre as retas 2x + 2y ≤ 12 e x + 3y ≤ 10, resta-nos então resolver o seguinte sistema linear
O que nos dá os valores de x = 4 e y = 2. O Lucro máximo é L = 4(4)+6(2)=28.
Resp: Sendo o ponto de valor máximo a intersecção entre as retas 2x + 2y ≤ 12 e x + 3y ≤ 10, resta-nos então resolver o seguinte sistema linear
O que nos dá os valores de x = 4 e y = 2. O Lucro máximo é L = 4(4)+6(2)=28.
Expoentes e logaritmos em diferentes contextos (I)
Expoentes e logaritmos em diferentes contextos (II)
Exercícios das aulas 19 e 20
Texto A
Como foi visto em aula, os logaritmos são utilizados para tornar números muito grandes ou muito pequenos mais facilmente perceptíveis, associando-os a números menores. Em vez de 107 ou 10-7, penso os expoentes 7 ou -7.
O logaritmo de um número N é apenas o expoente da potência de 10 que expressa o valor de N:
log N=n quer dizer que 10n = N.
Na verdade, qualquer outra base poderia ser utilizada, mas a conveniência da base 10 nos cálculos cotidianos torna o começo do estudo por essa base mais natural. Quando a base for diferente de 10, isso precisa ser destacado. Assim, se N = ax então x = logaritmo de N na base a = logaN.De modo geral, os números que correspondem a potências inteiras da base têm logaritmos inteiros; os outros, têm logaritmos fracionários, sendo a grande maioria números irracionais. Desde o século XVII são construídas tabelas que fornecem os valores aproximados de tais expoentes.
O logaritmo de um número N é apenas o expoente da potência de 10 que expressa o valor de N:
log N=n quer dizer que 10n = N.
Na verdade, qualquer outra base poderia ser utilizada, mas a conveniência da base 10 nos cálculos cotidianos torna o começo do estudo por essa base mais natural. Quando a base for diferente de 10, isso precisa ser destacado. Assim, se N = ax então x = logaritmo de N na base a = logaN.De modo geral, os números que correspondem a potências inteiras da base têm logaritmos inteiros; os outros, têm logaritmos fracionários, sendo a grande maioria números irracionais. Desde o século XVII são construídas tabelas que fornecem os valores aproximados de tais expoentes.
- Sendo dados os valores aproximados log 2 = 0,30 e log 3 = 0,47, preencha a tabela abaixo:
N N = 10n n (log N) 1 1 = 100 0 2 2 = 100,30 0,3 3 3 = 100,47 0,47 4 4 = 102×0,30 0,60 5 5 = 101-0,30 0,70 6 6 = 100,30+0,47 0,77 8 8 = 103×0,30 0,90 9 9 = 102×0,47 0,94 10 10 = 101 1 12 12 = 100,47+0,60 1,07 15 15 = 100,47+0,70 1,17 18 18 = 100,30+0,94 1,24 20 20 = 101+0,30 1,30 27 27 = 100,47+0,94 1,41 30 30 = 100,47+1 1,47 32 32 = 105×0,30 1,50 36 36 = 100,60+0,94 1,54 40 40 = 100,60+1,00 1,60 60 60 = 100,77+1 1,77 100 100 = 102 2 300 300 = 100,47+2 2,47 400 400 = 100,60+2 2,60 1000 1000 = 103 3 3000 3000 = 100,47+3 3,47 9000 9000 = 100,94+3 3,94 10000 10000 = 104 4 50000 50000 = 100,70+4 4,70 100000 100000 = 105 5
